© из книги канд. техн. наук
В. Маркуц
«Расчёт нежёстких дорожных одежд со слоями из слабосвязных материалов »
2.4 Определение эквивалентного модуля деформативности многослойных дорожных одежд на основе гиперболического закона распределения вертикальных нормальных напряжений в однородном изотропном массиве
Для определения осадки однородного массива используются формулы теории упругости:
ℓ = (1 / E)0∫∞ σZ dZ,
где E – модуль деформативности материала. Если принять распределение напряжений по гиперболическому закону, то
ℓ = (1 / E)0∫∞ Sech2(Z/D) dZ.
После интегрирования в пределах от 0 до ∞ величина сжатия однородного изотропного полупространства оказывается равной:
ℓ = [p × D × th(Z/D)] / E
При Z/D > 3 th(Z/D) ≈ 1 и ℓ становится равной (p/D)/E , то есть:
ℓ = (p/D)/E .
То же самое получится, если при интегрировании используется формула М.Я. Якунина при а = 2,5.
Для определения деформации многослойных дорожных одежд с неоднородными свойствами слоёв, её приводят к однородному массиву в соответствии с формулой профессора Г.И. Покровского. Многослойная дорожных конструкция (рис 1.8, 1.9) путём последовательной замены слоёв эквивалентными, приводится к модулю деформации (упругости) основного слоя, каковым принимается грунт рабочего слоя. При определении деформаций слоёв (сжатия) определяется эквивалентная толщина. В формулах вместо Z подставляется Zэ. Для нижнего слоя
Zэн = Z + ( Hэ – Hв ) = Z + Hв (n -1) .......... (2.11).
Для верхнего слоя величина Zэ составляет часть эквивалентной толщины этого слоя и потому равна
Zэв = Z × n.
Осадка сжатия (величина деформации) двухслойной системы с модулями деформативности ЕВ и ЕН равна сумме осадок (деформаций) верхнего и нижнего слоёв.
Рис 2.9 Схема к определению эквивалентного модуля дорожной конструкции
С учётом этих положений осадка (деформация) верхнего слоя составит:
Замена переменной:
y = (Z×n)/D; dy/dz = n/D; dz = (D/n)dy; z = (D/n)y; тогда:
или
или
После подстановки верхнего и нижнего пределов осадка (деформация) верхнего слоя составит:
….. (2.12).
Здесь n = (ЕВ/ЕН)1/m.
Осадка (деформация) нижнего слоя составит:
Замена переменной: y = (1/D)[z + НВ(n-1)]; dy/dz = 1/D; dz = Ddy;
После подстановки верхнего и нижнего пределов осадка (деформация) нижнего слоя составит:
….. (2.13).
Общая осадка ℓобщ = ℓВ + ℓН.
или
…….. (2.14).
Двухслойную систему с толщиной верхнего слоя НВ, модулем ЕВ можно заменить однородным изотропным полупространством с модулем ЕЭ. Осадка (деформация)этого однородного полупространства равна осадке двухслойной системы. Таким образом, при НВ = 0 (так как образуем полупространство) и ЕВ = ЕН = ЕЭ, находим:
ℓобщ = (p/D)/Eэ ………. (2.15).
Приравнивая правые части формул (2.12) и (2.13), получаем:
После преобразований:
откуда:
откуда:
или
или
….. (2.16).
Здесь n = (ЕВ/ЕН)1/m. Тогда формула (2.16) преобразуется к более привычному виду:
.... (2.17).
..... (2.18).
Здесь Ен и Еэ соответственно модули упругости нижележащего и вышележащего полупространства относительно слоя с модулем упругости Ев и толщиной Hв. При m = 3 для некоторых значений Нв/D появляется область неадекватности, определяющая границы применения формул 2 и 3, указанные в таблице 2.4.
Что касается показатель степени m, то для материалов повышенной жёсткости типа асфальтобетонных смесей, его следует принимать равным 2. Для материалов обработанных битумом m следует принимать равным 3. И, наконец, для малосвязных дискретных материалов m следует принимать равным ∞ (бесконечности).
Таблица 2.4
Границы применимости формул 2 и 3 при m = 3
ЕН / ЕВ | 0,05 - 0,10 | 0,11 - 0,15 | 0,16 - 0,30 | 0,31 - 0,60 | 0,61 - 0,90 |
НВ / D | 0,75 | 0,80 | 0,85 | 0,90 | 0,95 |
Пример:
Дана двухслойная дорожная конструкция: щебень толщиной 20 см с модулем упругости ЕВ = 3000 кг/см2 на песчаном грунте с модулем упругости ЕН = 600 кг/см2. Сравнительные расчёты по разным методикам показали:
1. ДорНИИ и ВСН 46-62: ЕЭ = 1200 кг/см2 при а = 1 и m = 2,5;
2. ВСН 46-72: ЕЭ = 1200 кг/см2;
3. ВСН 46-83 и МОДН 2-2001 ЕЭ = 1200 кг/см2;
4. Гиперболический закон ЕЭ = 1900 кг/см2.