В. Маркуц
канд. техн. наук (Ph.D.)
профессор РАЕ
Заслуженный работник науки и образования
FULL MЕMBER EUROPEAN ACADEMY OF NATURAL HISTORY
© из книги В. Маркуц
«Транспортные потоки»
Таблица 3.5
Длина участка маневрирования при смене полосы движения
Скорость движения автомобиля ( км/час ) 30 40 50 60 70 80 100 120 Длина линии маневрирования ( м ) 30 40 50 60 70 80 100 120
Для условий вышеприведённого примера полная длина переходно-скоростной полосы равна( 244м + 134м + 80м ) = 458м - для транспортных узлов İ – İİ класса и ( 32м + 134м + 80м ) = 246м – в остальных случаях. Эти значения близки к рекомендациям в [ 51 ]: 440.7м и 246.9м соответственно при адекватных условиях. Это позволяет рекомендовать предложенный метод для расчёта элементов переходно-скоростных полос с широким учётом условий движения автомобилей в зоне слияния транспортных потоков, а также во многих других случаях.
Рассмотрим расчётную схему на рис. 3.5. Траектория движения автомобиля при смене полосы движения состоит из двух обратных кривых переменного радиуса ρ. Такой кривой может быть квадратичная парабола, описываемая уравнением
y = x2/ 2R ................……………. (30).
Здесь R максимальная величина радиуса закругления в точке сопряжения с обратной кривой.Проводим преобразования:x2 = 2* R* y.
Так как y =b / 2, тоx2 = 2R*y = 2R(b / 2) = b*R и x = (b*R)1/2 …..................... (31).
Так как R = v2/[g(μ +iп)]
и l незначительно отличается от x, то получаем формулу, аналогичную формуле (28), полученную из уравнения клотоиды:
l = v* [b /[g(μ +iп)]1/2 ………………………. (32).
С другой стороны центробежная сила С, действующая на автомобиль и перпендикулярная направлению движения автомобиля, приложена к его центру тяжести и направлена во внешнюю сторону, уравновешивается центростремительной силой F, направленной во внутреннюю сторону:
C =(M* v2) / R F = Ma.
Отсюда:V2 = a* R и R = V2/а откуда из уравнения (31)
x = (b *R); x = (b * v2/a)1/2; x = v * (b /a)1/2; или
l = v * (b /a)1/2 ………………. (33).
Рис 3.5 Схема к расчёту длины линии маневрирования при смене полосы движения, описываемой уравнением квадратичной параболы
Так как j = a / t; a = j * t; t = l /v;
a = j * (l /v); l = v * (bv /jl)1/2 ;
l2 = v2 * (bv /jl);
l3 = v3 * (b /j); j* l3 = v3b;
или
l = v * (b /j)1/3 ………………. (34)
Длина участка маневрирования при смене полосы движения
и l незначительно отличается от x, то получаем формулу, аналогичную формуле (28), полученную из уравнения клотоиды:
l = v* [b /[g(μ +iп)]1/2 ………………………. (32).
С другой стороны центробежная сила С, действующая на автомобиль и перпендикулярная направлению движения автомобиля, приложена к его центру тяжести и направлена во внешнюю сторону, уравновешивается центростремительной силой F, направленной во внутреннюю сторону:
C =(M* v2) / R F = Ma.
l = v * (b /a)1/2 ………………. (33).
a = j * (l /v); l = v * (bv /jl)1/2 ;
получили формулу, аналогичную формуле (27), полученную из уравнения клотоиды.
Рис 3.6 Схема к расчёту длины дуги криволинейной линии
На рис 3.6 представлен фрагмент криволинейной линии. При этом ввиду малости отрезков dx, dy и ds имеем:
ds2 = dx2 + dy2;
ds2 /dx2 = [1 +( dy /dx)2] или
ds = [1 +( y /)2]1/2 dx
отсюда
s = ∫ [1 +( y /)2]1/2 dx ………………. (35).
Ссылку не даю, так как формула (35) определения длины кривой ds на участке dx представлена, если не во всех, то во многих учебниках по математике.
Из уравнения квадратичной параболы
y = x2/ 2R
y / = x/R
Отсюда
l = ∫ [1 +( x/R)2]1/2 dx
или 
табличный интеграл вида 
где r = (x2 + R2)1/2 (Г.Б. Двайт «Таблицы интегралов и другие математические формулы» с.51 №230.01).
…(36).
Определяем пределы интегрирования по x. Первый предел x = 0 (рис 3.5). Второй предел определяется так же из рис. 3.5. Так как
, то x2 = 2Ry или 
Величина y равна b/2.
Следовательно, 
.................. (37).
При x = 0 интеграл
равен:
= 
Или
= 0,5 R2 lnR.
При интеграл
равен:
После преобразований:
Откуда:
После преобразований: 
..... (38).
Положим b = 3 метра, R = 100 метров. Тогда: 
l = 17,4 метра.
Из (37) .
Отсюда:
l = ∫ [1 +( bR/R)2]1/2 dx или
l = ∫ [1 +( b/R)]1/2 dx или
l =[1 +( b/R)]1/2 ∫ dx
или l =[1 +( b/R)]1/2 * x.
Так как x = (b*R)1/2 , то
l =[1 +( b/R)]1/2 *(b*R)1/2
или l =[bR + b2]1/2 или
l = [b(R + b)]1/2
Обычно ширина полосы движения автомобилей b составляет 2,5 – 3,75 метра, что несравненно меньше радиуса закругления R, величина которого составляет десятки, а то и сотни метров. Поэтому:
l = [bR ]1/2 .................. (39).
Получили более простую формулу, нежели предыдущая. Посмотрим, насколько она отличается по величине.
Имеем, как и прежде b = 3 метра, R = 100 метров.
Тогда: l = (bR)0.5 = (3 * 100)0.5. l = 17,3 метра.
Разница по сравнению с более точной формулой (38) составляет всего 10 сантиметров.
Подставляя в полученную формулу (39)_величину радиуса закругления, выраженную либо через параметр j, либо через ускорение а, либо через другие дорожные условия, получим решения, аналогичные двум предыдущим. Это свидетельствует о надёжности полученных формул длины линии маневрирования (линии слияния транспортных потоков).