© из книги  канд. техн. наук В. Маркуц 

  «Транспортные потоки»

1.1    Дифференциальное уравнение транспортного потока и его реализация 

Изменение плотности транспортного потока δ q обусловлено изменением во времени интенсивности движения  N :

,

где K – коэффициент пропорциональности.

С изменением интенсивности движения автомобилей во времени изменяется скорость транспортного потока и, следовательно, параметр К.  Так как  δ N = ∂ Q / ∂ t ,    δ q = ∂ Q / ∂ X ,  то

Полученное решение является нелинейным дифференциальным уравнением, связывающим изменение количества автомобилей ∂ Q на участке дороги ∂ X с изменением интенсивности движения транспортного потока во времени ∂ t . Коэффициент пропорциональности K , являющийся параметром транспортного потока идентифицируется анализом размерностей из уравнения (1.1) следующим образом. Из теории подобия и моделирования известно, что соотношения пропорциональности, используемые при установлении подобия, справедливы на любых ( малых и больших ) участках изменения функций. Поэтому символы дифференцирования ( или интегрирования ) при нахождении условия подобия можно опустить, поскольку они не имеют размерности. Тогда  

Чтобы соблюдалось соотношение правой и левой части параметр  К   должен иметь размерность  

где  а – ускорение движения автомобилей в транспортном потоке. Таким образом, параметр транспортного потока   К  есть величина обратная ускорению, который можно представить в виде функции:  

  K = Au ^a     ……………………………     ( 1.2 ),

тогда уравнение ( 1.1 ) приводится к виду

   ……………………………       ( 1.3 ),

легко решаемому классическим методом разделения переменных [ 44 ]. Здесь А и α   параметры, характеризующие проводящие свойства среды. После дифференцирования уравнения (1.3) получаем

     ........    (1.4).

     Пусть:

Величина  λ   имеет отрицательное значение, так как при τ Ž   ∞ устанавливается квазистационарный режим. Если  λ положительна, то, имея

  u ( τ ) = c ₁ + A λ ,

  при  τ Ž ∞   величина u будет больше любого наперёд заданного значения [ 44 ].

После интегрирования левого члена уравнения ( 1.7 ) получаем

Интегрирование правого члена уравнения ( 1.7 )   [ 14 ] :

Интегралы вида (1.21), (1.24) и (1.25) решаются численными методами.

 При  α = 0   [ 52 ] :

Постоянные интегрирования С₁ , С₂ , С_{3 ,} A и λ   определяются из начальных и граничных условий. Общий вид уравнений (26), (27) показан на рис.1.1 и рис.1.2.

  Рис 1.1  Общий вид уравнения (1.26)

Рис 1.2  Общий вид уравнения (1.27)

  С увеличением числа автомобилей на ограниченном участке дороги скорость транспортного потока падает, следовательно, величина возможно развиваемого ускорения возрастает и коэффициент К  принимает минимальное значение. При малых интенсивностях скорость транспортного потока значительна, и возможность развить большие ускорения ограничена конструктивными особенностями автомобиля. Следовательно, параметр К   принимает большие значения, тогда ά = - 1. В этом случае решением уравнения (1.1) будет гиперболическая функция (рис1.3), представляющая собой семейство кривых при фиксированном   К [30]:

Здесь С_1,    С_2,  С_{3 ,} А, λ – параметры интегрирования, определяемые из начальных и граничных условий.