© из книги канд. техн. наук

В. Маркуц 

 «Расчёт нежёстких дорожных одежд со слоями из слабосвязных материалов »

1.4  Расчёт деформаций дорожной одежды на основе решений Ж. Буссине

    В 1885 году Ж. Буссине, решая одну из задач теории упругости, нашёл распределение напряжений по вертикальной оси для изотропного однородного массива под нагрузкой, равномерно распределённой на круглой площадке:

где σ_Z – напряжения по глубине Z от внешней нагрузки P, действующей через круглый штамп радиусом r [3]. После преобразования:

При y = ∞ третье слагаемое равно 0, а (1 + y²)^1/2  при больших  значениях  y можно считать приблизительно равным y.  Тогда квадратная скобка обращается в 0.   Поэтому:

рожной одежды составит:

Общая деформация дорожной одежды составит:

ℓ_общ = ℓ_В   + ℓ_Н.

Для однородного массива

  Н_В = 0;   Е_Н = Е_В = Е_Э      тогда

ℓ_общ = (pr)/ Е_Э(0 – 1 -1 + 2) +  (pr)/ Е_Э(1 + 1 -0),  или

ℓ_общ = (2pr) /  Е_Э  или  ℓ_общ = pD / Е_Э.

После преобразований, учитывая, что  Z / r  = 2(Z / D): 
  

                                                                                          

где n = (Е_н/Е_в)^-1/m .    Тогда  Н_э = Н_в×(Е_в/Е_н)^1/m  или 

Н_э = Н_в×(Е_н/Е_в)^-1/m .      

Здесь Н_э – толщина однослойной конструкции с модулем Е_н, которая заменила двухслойную дорожную одежду, состоящую из материала верхнего слоя с модулем Е_в и материала нижнего слоя бесконечной толщины с модулем Е_н. Иначе говоря, Н_э – это эквивалентный слой материала нижнего слоя с модулем деформативности Е_н, при замене которым верхнего слоя рассматриваемой двухслойной системы Н_в с модулем деформативности Е_в её напряжённое состояние не изменится. Показатель степени m для пластичных тел равен 2, для упругожёстких m = 3, для многослойных нежёстких одежд m = 2.5 [3].

Многочисленные опыты в Ленфилиале СоюздорНИИ, МАДИ, ряд экспериментов за рубежом показали, что при слоях, не обладающих сопротивлением изгибу (дискретных), величину (Е_в / Е_н)^1/m правильнее принимать равной единице [6]. Это может быть при условии m → ∞.

Но, как оказалось впоследствии, область применения формулы Бусине для многослойных дорожных одежд ограничена структурными особенностями интегральных формул для определения величины сжатия слоёв и эквивалентного модуля упругости.  

Как видно из формулы, чтобы извлечь корень квадратный из выражения

     H/D должно быть меньше 0.5(Е_н/Е_в)^1/m или H/D должно быть меньше 0.5/(Е_в/Е_н)^1/m, где Е_в/Е_н – соотношение модулей деформативности верхнего и нижнего слоёв дорожной одежды. При m = 3 и Е_в/Е_н от 3-х до 8, что соответствует реальному соотношению модулей деформативности соседних слоёв, H/D должно быть меньше 0.25 – 0.30. Диаметр колеса расчётного автомобиля не превышает 40 см, значит толщина слоёв дорожной одежды не должна превышать 10 – 12 см. Более наглядно это видно из таблицы 1.1 для определения эквивалентного модуля деформативности, полученных на основе распределения напряжений по глубине по Ж. Бусине. В таблице различной степенью заливки ячеек выделены области существования и неадекватности функции. В затенённой части таблицы, где значения  Ен / Еэ  больше единицы, функция существует, но эквивалентный модуль деформативности оказывается меньше модуля деформативности любого из слоёв дорожной одежды. Это область неадекватности функции. Ниже её расположена область неопределённости, где функции не существует.

Таблица 1.1

Таблица для определения эквивалентного модуля деформативности

(распределение вертикальных напряжений по Ж. Буссине )