Маркуц Вениамин Михайлович

канд. техн. наук (Ph.D.)

профессор  РАЕ 

Заслуженный работник науки и образования

FULL  MЕMBER  EUROPEAN ACADEMY  OF NATURAL HISTORY

Применение  теории  однородных  марковских  цепей  для  прогнозирования  сроков  наступления  событий

(публикуется с небольшими изменениями по тексту 1986 – 1987 г.г.)

Содержание

Аннотация

Общие положения

1. Основные понятия теории цепей Маркова

2. Полученные результаты и их интерпретация

2.1.  Действия со случайными числами

2.2.  Действия над максимальными уровнями паводков

Выводы

Литература

Аннотация

     На примерах со случайными числами и данными о величине максимальных уровней паводков одной из рек в Тюменской области показано применение однородных  марковских  цепей  первого порядка для  прогнозирования  сроков  наступления  событий. 

Общие положения

В дорожном проектировании очень важным является определение расчётных значений каких-либо параметров, например, длительности периодов влагонакопления, уровней паводков рек и др. Но не менее важным является и определение наступления сроков этих событий. При расчёте опор мостов важно знать время прохождения расчётного паводка – в самом начале работы сооружения или в конце, когда после прохождения многочисленных паводков ниже расчётного, русло реки уже размыто. В последнем случае общий размыв русла реки будет гораздо больше, чем, если бы паводок прошёл сразу после постройки моста. При расчёте дорожных конструкций также важно знать момент наступления расчётного года – в начале или в конце срока службы дороги.

Наиболее апробированными в практике являются сложные гидродинамические детерминированные модели, удовлетворительно предсказывающие общую синоптическую ситуацию. Собственно же прогноз погоды, включающий прогноз метеорологических элементов, до сих пор составляется в основном с помощью качественных способов [1]. Это обстоятельство заставляет искать и применять другие пути решения. В метеорологии и геологии длительное время используются методы множественной регрессии и цепи Маркова [2,4]. Исследование возможности применения цепей Маркова в практике дорожного проектирования является целью настоящей работы. В качестве первого опыта было поставлено определение сроков наступления паводков одной из рек в Тюменской области, так как было замечено, что в многолетнем ряду её максимальных уровней наблюдается некоторое влияние предшествующих событий на последующие. Решение проведено в матричном виде, что намного проще аналитической формы и кроме того получаемые выражения допускают прямую вероятностную интерпретацию [3]. Для лучшего понимания излагаемого материала приведены некоторые предварительные понятия о цепях Маркова.

1. Основные понятия теории цепей Маркова

Многие природные процессы, которые рассматриваются как случайные, характеризуются тем, что в них наблюдается некоторое влияние предшествующих событий на последующие. Такие процессы называются марковскими. Это и является критерием наличия марковских свойств в изучаемой серии наблюдений. Поэтому в настоящей работе в целях испытания работоспособности математического аппарата цепей Маркова исследовался ряд случайных чисел, представляющих собой независимые события в наиболее чистой форме.

Основной особенностью марковских процессов является зависимость его поведения только от непосредственного предшествующего состояния и независимость от всех остальных предшествующих состояний, причём число состояний величина конечная. Их этого следует, что марковские процессы имеют короткую память. Если память цепи распространяется на один шаг, то такая цепь называется цепью первого порядка. Переходы из одного состояния в другое дискретны во времени или пространстве и характеризуются вероятностями перехода, причём эти вероятности, как следует из определения, стационарны, то есть независимы во времени. Поэтому одна из форм марковских процессов со стационарными вероятностями перехода с дискретным временем на конечном фазовом пространстве называется однородной цепью Маркова.

При большом объёме первичной информации вероятность перехода из одного состояния в другое можно вычислять более чем за одно предшествующее состояние. Если таких предшествующих состояний два, то образуется цепь второго порядка, если три – третьего и т.д. Таким образом, цепь Маркова определяется набором вероятностей перехода из одного состояния в другое, которые образуют матрицу вероятностей перехода Р. Если в марковской цепи зависимых состояний больше четырёх, то она становится очень сложной, так как число содержащихся в переходной матрице строк равно числу состояний, возведённому в степень, равную числу зависимых состояний в цепи – одно, два, три и т.д. Переходная матрица для цепи второго порядка с пятью состояниями будет содержать 5² = 25 строк, а для цепи третьего порядка 5³ = 125 строк.

Переходная матрица Р образуется следующим образом. Исследуемый ряд ранжируется в возрастающем порядке и в нём выделяются группы по состояниям:

S₁,  S₂,  S₃  ……  S_i  …….  S_j  ……..  S_k.

Далее подсчитывают частоты перехода от состояния к состоянию. Переход от состояния S_i  к состоянию S_j - это событие S_{i j}, которое может совершиться (произойти) V_{i j} раз. Нижеприведённая таблица 1 иллюстрирует получение матрицы частот.

Таблица 1

Матрица частот для K состояний процесса

              Σ = n - 1

По каждой строке подсчитывают сумму переходов от состояния к состоянию и сумму строк, причём каждая последняя определяет общее число переходов, которое на единицу меньше количества членов в ряду n. Далее составляют матрицу переходных вероятностей P, где каждый элемент определяется как:

              ……………………………………………….               (1).

При этом сумма по строкам должна быть равна единице. Это свидетельствует о том, что переход из какого-либо состояния к одному из множества всех возможных состояний есть событие достоверное. Число строк равно числу столбцов. Это означает то, что матрица переходных вероятностей квадратная. Элементы переходной матрицы это условные стохастические вероятности появления какого-либо события при условии совершившегося предшествующего события. Такова интерпретация матрицы P, являющейся начальным элементом регулярной цепи Маркова. И в самом деле. Исследуя закономерности многократно чередующихся паводков реки, мы наблюдаем переходы от низких паводков к высоким, последних к самым низким, к самым высоким или к средним. При практически бесконечном числе переходов от состояния к состоянию само число состояний конечно. В нашем примере число состояний равно пяти: самое низкое – НН, низкое – Н, среднее – С, высокое – В, самое высокое – ВВ. При этом вероятность возвращения из какого-либо состояния, например, от самого высокого паводка, минуя череду ординарных высоких, средних и низких паводков равна единице, а среднее время возвращения конечно, к примеру, через сто лет. Такое состояние носит название эргодического, а эргодическая цепь, не являющаяся циклической, представляет регулярную цепь. Рассматриваемые ниже примеры решены при помощи однородной регулярной цепи Маркова первого порядка.

Из определения матрицы P следует, что составляющие её элементы условных стохастических вероятностей перехода представляют состояние системы в какой-то фиксированный момент, отражающий поведение этой системы за определённый промежуток времени. Для нашего примера этот период составляет 61 год и матрица переходных вероятностей P имеет вид, представленный в таблице 2.

Таблица 2

Матрица переходных вероятностей P

          Как видим, состояние Н (ординарный низкий паводок) может смениться состоянием Н с вероятностью перехода 0.330, средним состоянием (С) с вероятностью 0.440 и высоким уровнем с вероятностью 0.230, но ни в коем случае состоянием НН или ВВ. Состояние С может смениться состоянием НН, Н, С и В, а состояние В смениться состояниями Н, С, В и ВВ с соответствующими  вероятностями перехода. Это можно проиллюстрировать следующей схемой  (рис 1). Из схемы видно, что самый низкий уровень паводка НН и самый высокий ВВ могут пройти через два года после прохождения низкого паводка через состояние С и В соответственно с вероятностями:

P₂ (Н → НН) = 0,44 * 0,04 = 0,0176;

P₂ (Н → ВВ) = 0,23 * 0,08 = 0,0184;

Через три года:

P₃ (Н → НН) = 0,33 * 0,44 * 0,04 + 0,44 * 0,04 * 0,67 + 0,44 * 0,48 * 0,04 + 0,23 * 0,28 * 0,04  = 0,029;

P₃ (Н → ВВ) = 0,33 * 0,23 * 0,08 + 0,44 * 0,24 * 0,08 + 0,23 * (0,6 * 0,08 + 0,08 * 0,33) = 0,032.

Через четыре года:

P₄ (Н → НН) = 0,33 * (0,33 * 0,44 * 0,04 + 0,44 * 0,04 * 0,67 + 0,44 * 0,48 * 0,04 + 0,23 * 0,28 * 0,04) + 0,44 * [0,04 * 0,67 * 0,67 + 0,24 * 0,44 * 0,04 + 0,48 * (0,04 * 0,67 +  0,48 * 0,04) + 0,24 * 0,28 * 0,04] + 0,23 * [0,04 * 0,44 * 0,04 + 0,28 * (0,04 * 0,67 +  0,48 * 0,04) + 0,60 * 0,28 * 0,04]= 0,035;

P₄ (Н → ВВ) = 0,33 * [0,33 * 0,23 * 0,08 + 0,44 * 0,24 * 0,08 + 0,23 * (0,60 * 0,08 + 0,08 * 0,33)] + 0,44 * [0,04 * 0,33 * 0,08 + 0,24 * 0,23 * 0,08 + 0,48 * 0,24 * 0,08 +  0,24 * (0,60 * 0,08 + 0,08 * 0,33) + 0,04 * 0,23 * 0,08 + 0,28 * 0,24 * 0,08 +  0,60 * (0,60 * 0,08 * 0,33) + 0,08 * (0,67 * 0,08 + 0,33* 0,33)] = 0,042.

На каждой итерации элементы матрицы P изменяются, причём матрица второй итерации P₂ = P * P, третьей итерации P₄ =  P₂ * P и т.д., P_n =  P_n-1 * P. При этом каждый раз получается новая квадратная матрица. При n → ∞, а на практике гораздо раньше, P_n * P =  P_n = А, то есть последующее умножение матрицы P_n на P не изменит такую матрицу. Полученная матрица А, элементы которой уже не подвержены изменениям  - это предельное состояние матрицы переходных вероятностей Р при n → ∞. Изменение элементов - матрицы P - это изменение фазового пространства системы при переходе от состояния к состоянию. Отличительной особенностью новой матрицы является тот факт, что строки её одинаковы. Матрица А, по существу, это вектор-строка α. Эффект действия вектора α заключается в том, что вновь полученные вероятности перехода из одного состояния в другое становятся независимы от исходного начального состояния. Это означает независимость последующих событий от предшествующих через n итераций (для паводков реки через n лет). Тот факт, что элементы вектора α стационарны, даёт основание для предсказаний поведения изучаемой системы в будущем. 

скачать полный текст Вы можете   здесь 

Primenenie_teorii_mark._proccessov_Word_2003.doc

или на сайте http://markuts.wmsite.ru